밀만의 정리 쉽게 이해하기 Millman’s Theorem

밀만의 정리 (Millman’s Theorem) 에 대해 알아보겠습니다.

먼저 아래의 그림에서 왼쪽의 복잡한 회로를 오른쪽의 간단한 회로로 변환을 하면 a~b에 걸리는 전압과 전류를 쉽게 구할 수 있습니다.

밀만의 정리에 따르면 각 전압원과 저항은 전류를 생성성하며 이때 모든 전류의 합은 전체 전류의 총전류와 같습니다. 

 

i = i1 + i2 + i3 + ... + in

 

밀만의 정리

 

전류의 기본공식인 V = I x Z이나 쉽게  V = I X R을 생각해 보겠습니다. (전압  =전류  x 임피던스 또는 전압 = 전류 x 저항)

또한 Z = 1 / Y라는 것을 알고 있으면, 반대로 Y = 1 / Z로 바꿀 수 있습니다.

Z대신 R로 표현하고 싶을 때는 R의 역수인 컨덕턴스 G를 이용해서 G = 1 / R 이므로 R = 1 / G로 표현할 수 있습니다. 

위의 그림에서 임피던스 Z에는 R밖에 없으므로 1 / Z나 1 / R이나 동일하게 사용됩니다. 

 

 

밀만의 정리

 

 

따라서 맨 위의 그림을 풀어쓰면 

E_eq는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 

밀만의 정리

 

그리고 R_eq는 다음과 같습니다. 

 

그럼 실제 예제를 통해 밀만의 정리를 알아보겠습니다.

아래와 같은 회로에서 맨왼쪽의 R_L에 흐르는 전류 I_L와 전업 V_L을 구해보겠습니다.

우선 각 전류를 구하면

 

여기서 유의할 점은 전압 E1의 방향이 반대이기 때문에 전류 I1은 (-) 값이 나왔다는 것입니다.

따라서 전체 흐르는 전류는 -20/2 + 10/3 + 8/4 = -56/12[A]입니다.

 

다음은 저항 R_eq를 구해보겠습니다. 

 

1/R_eq = 1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12이므로 R_eq = 12/13입니다.

따라서 E_eq = I_eq / R_eq = -56/13 [V]이 됩니다.

 

이것을 그림으로 간단히 표현하면 다음과 같습니다.

 

이제 전체에 흐르는 전압과 저항을 통해 전류를 구해보겠습니다.

 

I = E / R = (56/13) / (12/13 + 5) = -0.727 [A]

 

마지막으로 a~b 사이의 전압은 V = I x R 공식을 사용하여

 

V= -0.727 x 5 = -3.635 [V]

 

이렇게 계산할 수 있습니다. 

 

시뮬레이션 프로그램으로 검증을 해보았습니다. 

위 예제처럼 저항 3개와 전압원 3개를 배치하고 맨 우측에 저항을 배치하여 이 곳의 저항을 측정해보았더니 아래와 같이 나타났습니다.

 

밀만의 정리 검증결과 Vd=3.636V

 

위 그림처럼 3.636V로 나타났습니다. 부호가 반대인것은 전압의 방향이므로 참고하시면 되겠습니다. 

아래는 실제 시뮬레이션 한 결과입니다.

 

 

이상으로 밀만의 정리에 대해 살펴보았습니다.

 

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이상 밀만의 정리였습니다.